Techniklexikon

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung, Tieftemperaturphysik und -technik

Dieses Essay befasst sich mit einer einheitlichen theoretischen Betrachtung der Supraleitung in Metallen und der Suprafluidität in elektrisch neutralen Fermisystemen. Es soll aufgezeigt werden, warum dieses faszinierende Phänomen auch heute noch – fast ein Jahrhundert nach seiner experimentellen Entdeckung und fast ein halbes Jahrhundert nach seiner ersten theoretischen Deutung – Gegenstand intensiver Forschung ist. Im ersten Abschnitt wird das völlig unterschiedliche Verhalten des Normalzustands dieser Systeme mit dem des Suprazustands kontrastiert und es werden einige wichtige Aspekte der historischen Entwicklung dieses Forschungsgebietes nachgezeichnet. Dann wird eine allgemeine Klassifizierung supraleitender und suprafluider Fermisysteme nach der Symmetrie ihres Grundzustands durchgeführt. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit den Gleichgewichtseigenschaften dieser Systeme bei endlicher Temperatur. Schliesslich wird die Frage aufgeworfen, wie die Supraleitung und die Suprafluidität auf äussere Störungen reagiert und was man daraus über die innere Struktur und die Symmetrie der supraleitenden und superfluiden Phase lernen kann. Suprafluidität in Bosonen-Systemen wird an anderer Stelle behandelt (Suprafluidität).

 

1 Normal- und Suprazustand

In normalen Metallen beruht der elektrische Widerstand auf der Streuung der Leitungselektronen an thermischen Gitterschwingungen (Phononen) und an Gitterfehlern (Verunreinigungen, Fehlstellen, Versetzungen, Korngrenzen, etc.), die durch eine Streurate  beschrieben wird. Die elektrische Stromdichte  relaxiert gemäss

Hier bezeichnen  die Teilchendichte,  und  die elektronische Ladung und Masse. Die treibende Kraft  ist die elektrische Feldstärke , die sich wie üblich aus den elektromagnetischen Potentialen  und  ableiten lässt. Die elektrische Leitfähigkeit  charakterisiert den Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischem Feld:

Dieser Zusammenhang ist als Drude-Gesetz (Drude-Lorenz-Theorie) bzw. als Ohmsches Gesetz bekannt. Ihr Kehrwert, der elektrische Widerstand , ist proportional zur Impulsrelaxationsrate . Im Grenzfall  verschwinden die Phononen, und der ausschliesslich durch Defekte verursachte (Rest-) Widerstand von sehr sauberen Metallen kann sehr gering sein.

Im Jahre 1911 studierte Heike Kamerlingh Onnes in Leiden diese Effekte an Quecksilber im Temperaturbereich zwischen 1 und 5 K. Er kam zu dem überraschenden Resultat, dass der elektrische Widerstand , anstatt stetig auf den Restwiderstandswert abzusinken, bei einer kritischen Temperatur T_c = 4,2 K verschwand. Dieses Phänomen (, ) wird seitdem Supraleitung genannt. Die wohl beeindruckendste Konsequenz des Supraleitungsphänomens demonstrierte Kamerlingh Onnes, indem er einen Strom in einem supraleitenden Bleiring bei 4 K in Gang setzte, die Stromquelle abschaltete und einen Dauerstrom (Dauerstrom, supraleitender) über ein ganzes Jahr ohne messbare Reduktion beobachten konnte. Kamerlingh Onnes\' Entdeckung wurde im Jahre 1913 mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt.

Dass das Phänomen der Supraleitung noch mehr beinhaltet als das blosse Verschwinden des elektrischen Widerstandes unterhalb einer Sprungtemperatur , zeigten Walther Meissner und Robert Ochsenfeld im Jahre 1933. Sie entdeckten, dass Supraleiter Magnetfelder reversibel aus ihrem Inneren verdrängen oder abschirmen, und zwar unabhängig davon, ob man den Supraleiter im Magnetfeld abkühlt (Verdrängungseffekt) oder erst unterhalb der Sprungtemperatur  ein Magnetfeld anlegt (Abschirmeffekt). Der Supraleiter verhält sich somit wie ein idealer Diamagnet. Diese Feldverdrängungseigenschaft der Supraleiter ist nach ihren Entdeckern Meissner-Ochsenfeld-Effekt benannt geworden.

Parallel zu dieser Entdeckung entwickelten die Brüder Fritz und Heinz London, aber auch Max von Laue, die phänomenologische sog. London-Laue-Theorie der Supraleitung (1935-1938), in der eine makroskopische Anzahl supraleitender Teilchen der Ladung  und der Masse , die sich in den elektromagnetischen Potentialen  und  bewegen, durch eine kollektive quantenmechanische Wellenfunktion  mit Amplitude  und Phase  beschrieben wird. Im Gegensatz zur Interpretation der gewöhnlichen Quantenmechanik von  als Wahrscheinlichkeitsamplitude, ein Teilchen am Ort  zur Zeit  vorzufinden, wurde  mit der makroskopischen Teilchenzahldichte der supraleitenden Ladungsträger verknüpft. Ansonsten konnten alle aus der Quantenmechanik bekannten Resultate übernommen werden, insbesondere die Tatsache, dass der Schrödinger-Gleichung für  die Kontinuitätsgleichung für die Kondensat-Dichte  äquivalent ist, in der die Ladungssuprastromdichte  die Form

hat. Die einzelnen Ladungsträger verlieren somit ihre Individualität völlig, denn sie gehorchen kollektiv den Gesetzen der Quantenmechanik. Obwohl diese Theorie nichts über den Mechanismus, der zur Supraleitung führt, aussagt, betrachtet sie die Supraleitung erstmals als makroskopisches Quantenphänomen und kann Dauerströme, Magnetfeldabschirmung, charakterisiert durch die sog. Londonsche Magnetfeldeindringtiefe (Londonsche Theorie der Supraleitung)

sowie die sehr viel später entdeckte Flussquantisierung durch einen Supraleiter vorhersagen. Wegen der Eindeutigkeitsforderung , an  ergibt sich für das (Fluss-) Integral über die Querschittsfläche  eines supraleitenden Hohlzylinders die Bedingung

in der  und  das Quantum des magnetischen Flusses darstellt. Im Jahre 1961 gelang Robert Doll und Martin Näbauer (unabhängig davon aber auch Deaver und Fairbanks) schliesslich der experimentelle Beweis dafür, dass die Grösse  quantisiert ist. Das experimentell bestimmte Flussquantum liess den Schluss zu, dass beim Ladungstransport in Supraleitern nicht, wie in der London-Theorie angenommen, einzelne (, , ), sondern Paare von Elektronen mit der doppelten Elementarladung (, ,  beteiligt sind.

Wie die Metallelektronen zeigen auch elektrisch neutrale Flüssigkeiten in ihrem Normalzustand das Phänomen eines Strömungswiderstands. Die Massenstromdichte  genügt der Relaxationsgleichung

in der die treibende Kraft  in der Regel ein Druckgradient ist. Im Gegensatz zur Relaxationsrate des elektrischen Stroms gilt , da weder Phononen noch Fehlstellen existieren und Zweiteilchenstösse wegen des Fehlens von Umklappprozessen nicht zur Impulsrelaxation führen. Die Relaxation ist deshalb diffusiv und durch die Scherviskosität  (Viskosität) bestimmt. Diese vermittelt auch den Zusammenhang zwischen dem querschnittsgemittelten Massenstrom  der Flüssigkeit und dem von aussen angelegten Druckgefälle, der als Hagen-Poiseuillesches Gesetz bekannt ist. Für Strömung zwischen parallelen Platten (Abstand ) gilt

Der Strömungswiderstand  ist somit proportional zur Scherviskosität der Flüssigkeit. Seine Beobachtbarkeit zu tieferen Temperaturen hin wird verdeckt durch die in fast allen Fällen eintretende Verfestigung dieser Systeme. Nur Flüssigkeiten, die aus besonders leichten Atomen (wie zum Beispiel die Isotope des Heliums ⁴He und ³He) bestehen, bleiben bis zum absoluten Temperaturnullpunkt bei Atmosphärendruck flüssig. Man nennt diese Systeme Quantenflüssigkeiten, da ihr flüssiger Zustand durch die quantenmechanischen Nullpunktsbewegungen hervorgerufen wird.

Im Jahre 1971 entdeckten David Lee, Douglas Osheroff und Robert Richardson bei einer Sprungtemperatur  von etwa zwei Tausendstel K den Übergang von flüssigem ³He in zwei superfluide Phasen. Obwohl im Gegensatz zur Impulsrelaxation die Scherviskosität scheinbar verschwindet, wies ihr Verhalten sehr viele Analogien zur Supraleitfähigkeit der »Elektronenflüssigkeit« in Metallen auf, zeigte zusätzlich aber eine Vielzahl neuer und exotischer Eigenschaften. Diese Entdeckung löste eine wahre Flut von experimentellen und theoretischen Veröffentlichungen aus, die über mehr als zwei Dekaden anhielt und schliesslich im Jahr 1996 mit dem Physik-Nobelpreis für die drei Entdecker ihre Würdigung fand.

Auch für neutrale suprafluide Fermi-Systeme mit Teilchen der Masse  und der superfluiden Dichte  lässt sich die London-Theorie anwenden. Wegen der fehlenden Ladung ist der supraleitende Massenstrom jetzt allein mit der räumlichen Änderung der Phase der Kondensat-Wellenfunktion verknüpft:

Die wesentliche Gemeinsamkeit der Phänomene Supraleitung und Suprafluidität lässt sich nur mit den Denkmethoden der Quantenmechanik verstehen. Sie besteht darin, dass es sich bei Elektronen und ³He-Atomen, welche Vielteilchensysteme von typischerweise 10²³ Teilchen bilden, um Fermionen handelt, d.h. Teilchen mit einem halbzahligen Spin. Fermionen gehorchen dem Pauli-Prinzip, welches besagt, dass nur ein Fermion einen gegebenen Quantenzustand , charakterisiert durch den Impuls  und die Spinprojektion , besetzen kann. (Bei flüssigem ⁴He handelt es sich um ein Bosonen-System.)

Ein moderner Zugang zu den Phänomenen Supraleitung (geladene Fermionen, Elektronen) und Suprafluidität (neutrale Fermionen) sollte diese auf ein und derselben Stufe behandeln. Ein erster Schritt in diese Richtung liess sehr lange, nämlich bis zum Jahre 1957, auf sich warten. In diesem Jahr veröffentlichten die Theoretiker John Bardeen, Leon Cooper und Robert Schrieffer (BCS) ihre mikroskopische Theorie der Supraleitung, nicht ahnend, dass sich diese Theorie, nach einigen nicht unwesentlichen Modifikationen, die insbesondere dem Theoretiker Anthony J. Leggett zu verdanken sind, auch zur Beschreibung der Suprafluidität von flüssigem ³He eignen würde. Wegen ihrer universellen Anwendbarkeit wurde die BCS-Theorie im Jahre 1972 mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt.

 

2 Klassifizierung paarkorrelierter Fermi-Systeme

Fermi-Systeme lassen sich durch ihre Teilchendichte , mit  der Fermi-Energie, das Energiespektrum , mit  dem chemischen Potential (), die Gruppengeschwindigkeit  und die Zustandsdichte an der Fermi-Kante  charakterisieren. Im globalen thermodynamischen Gleichgewicht wird die mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit dieser Zustände durch die Impulsverteilung

beschrieben. Hier bedeuten  und  die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Fermion im Quantenzustand  und  der statistische Mittelwert. Im Normalzustand des Fermi-Systems ist  die Fermi-Dirac-Verteilung (Fermi-Dirac-Statistik).

Das BCS-Modell postuliert, dass es bei tiefen Temperaturen energetisch günstiger ist, wenn sich ein temperaturabhängiger Teil der Fermionen zu sog. Cooper-Paaren formiert. Der geniale Aspekt an der Paarungshypothese ist die Einsicht, dass die Paarung nicht im Orts- sondern im Impulsraum stattfindet. So ist die zentrale Annahme der BCS-Theorie die spontane Paarformation im -Raum, beschrieben durch einen im thermodynamischen Gleichgewicht endlichen statistischen Mittelwert, die Paaramplitude

Hier ist  der Relativimpuls des Paares. Das Pauli-Prinzip erzwingt die totale Antisymmetrie von  beim Vertauschen der Spins ,  und der Impulse , :

Die Spinabhängigkeit der Paaramplitude wird durch die Möglichkeiten, zwei Spins vom Betrag  und mit den Projektionen  zum Gesamtspin  und der Gesamtprojektion  zu koppeln, festgelegt. Der Clebsch-Gordon-Koeffizient für diese Kopplung lautet

und lässt nur die beiden Fälle  (Singulett-Paarung) und  (Triplett-Paarung) zu. Für Singulett-Paarung gilt

wobei . Hier ist  eine der Pauli-Matrizen, die zusammen mit der Einheitsmatrix  ein vollständiges Basissystem von -Matrizen bilden.

Wegen Gl. (7) muss  für Singulett-Paarung gerade Parität bezüglich  haben, . Die -Abhängigkeit von  lässt sich mit einer orbitalen Quantenzahl  klassifizieren, und man spricht von s-Wellen-Paarung (), d-Wellen-Paarung () usw. Im Fall der Spin-Triplett-Paarung hat man

Die Triplett-Komponenten , , und  des Paaramplituden-Vektors  sind den magnetischen Quantenzahlen  zugeordnet und haben wegen (7) ungerade Parität bezüglich , . Im Fall der Triplett-Paarung ist die orbitale Quantenzahl  ungerade und man spricht von p-Wellen-Paarung (), f-Wellen-Paarung () u.s.w. Man erkennt, dass mit dem supraleitenden Phasenübergang eine spontan gebrochene Symmetrie verknüpft ist, nämlich die bezüglich der lokalen Eichtransformation , bei der die Paaramplitude  in  übergeht (spontane Symmetriebrechung). Die Formation von Cooper-Paaren wird durch eine in der Nähe der Fermi-Kante anziehende Wechselwirkung  vermittelt, welche die mittleren Paaramplituden  und  mit einer neuen Energieskala, dem mittleren sog. Paarpotential verknüpft:

Die skalaren und vektoriellen Paaramplituden , , oder äquivalent dazu, die Paarpotentiale  und , werden auch als Ordnungsparameter (Phasenübergänge) der supraleitenden oder superfluiden Phase des paarkorrelierten Fermi-Systems bezeichnet. Die Cooper-Paare, deren Gesamtheit man auch als Kondensat bezeichnet, bilden nun den neuartigen kollektiven Zustand makroskopischer Quantenkohärenz, der bereits in der London-Theorie antizipiert worden ist. Durch die Paarungshypothese liefert die BCS-Leggett-Theorie im Gegensatz zur London-Theorie nicht nur den korrekten Wert für das im Doll-Näbauer-Experiment bestimmte Flussquantum, sondern erlaubt auch eine korrekte Beschreibung der thermodynamischen, elektromagnetischen, hydrodynamischen und spindynamischen Eigenschaften supraleitender und superfluider Fermi-Systeme.

Im folgenden sollen nun einige der in der Natur vorkommenden paarkorrelierten Fermi-Systeme durch die Form ihrer Paarpotentiale charakterisiert werden. Hierzu zerlegen wir

in den temperaturabhängigen Maximalwert  und einen -abhängigen orbitalen Anteil, der die Möglichkeit einer Anisotropie auf der Fermi-Fläche enthält. Man kann in unterschiedlichen Fermi-Systemen die Symmetrie des Paarpotentials mit der der Fermi-Fläche bzw. der Bandstruktur vergleichen. Sind diese Symmetrien gleich (oder ist nur die Eichsymmetrie spontan gebrochen), so wird die Paarung als konventionell (k) bezeichnet. Ist die Symmetrie des Paarpotentials geringer als die der Fermi-Fläche (oder gibt es neben der Eichsymmetrie noch zusätzliche spontan gebrochene Symmetrien), so nennt man die Paarung unkonventionell (u).

In die siebziger und achtziger Jahre fiel die Entdeckung neuer, exotischer Supraleiter. Dazu gehören organische Supraleiter und Supraleiter mit sog. schweren Fermionen. Im Jahre 1986 wurden Materialien auf Kupferoxidbasis (Kuprate) mit Sprungtemperaturen bis zu 153 K (sog. Hochtemperatur-Supraleiter) durch Karl Alex Müller und Georg Bednorz entdeckt, die dafür im Jahr darauf mit dem Nobelpreis für Physik geehrt wurden. Man ist heute davon überzeugt, dass die superfluiden Phasen des ³He, u.a. der Schwerfermionsupraleiter UPt₃, sowie alle lochdotierten (ld) Kuprat-Supraleiter einen unkonventionellen Ordnungsparameter haben. Unerwarteterweise zeigen die elektrondotierten (ed) Kuprate scheinbar konventionelles Verhalten. Eine spezielle Konsequenz dieser Unkonventionalität ist die Tatsache, dass der Ordnungsparameter Nulldurchgänge oder Noden haben kann, d.h. er kann auf der Fermi-Fläche Punkt- (P) oder Linien- (L) förmige Nullstellen haben. Dieser Sachverhalt ist in [40]Abb. 1 veranschaulicht. In Tab. 1 sind die Eigenschaften einiger wichtiger supraleitender (SL) und superfluider Fermi-Systeme zusammengestellt. Die Fermi-Flächen werden der Einfachheit halber als sphärisch (D = 3) oder als zylindrisch (D = 2) angenommen. Aufgeführt sind Ordnungsparametersymmetrie, Nodenstruktur und die Dimensionalität D ihrer Fermi-Fläche.

In Tab. 1 ist  der (Polar-) Winkel zwischen einer für den Paarzustand charakteristischen makroskopischen orbitalen Vorzugsrichtung  und dem Einheitsvektor  auf der Fermi-Fläche. Für den Fall der Triplett-Paarung ist  eine makroskopische Vorzugsrichtung im Spinraum.  ist eine Rotationsmatrix, welche im Spezialfall des pseudoisotropen Zustands die Korrelation zwischen Spin- und Bahnfreiheitsgraden der Cooper-Paare beschreibt. Der Winkel  spielt dabei die gleiche Rolle wie der Winkel zwischen  und  und reflektiert eine von Leggett erstmals diskutierte zusätzliche spontan gebrochene Symmetrie, nämlich die relative Spin-Bahn-Symmetrie des superfluiden Fermi-Systems (und damit den unkonventionellen Charakter des Ordnungsparameters). Da es sich bei den Kupraten um Quasi-2--Systeme handelt, wird die -Symmetrie des Paarpotentials durch den (Azimuth-) Winkel  beschrieben.

 

3 Paarkorrelierte Fermi-Systeme im thermischen Gleichgewicht

In der BCS-Behandlung werden die Paarwechselwirkungseffekte durch einen Hamilton-Operator in Molekularfeldnäherung erfasst. Die folgende Diskussion wird nun der Übersichtlichkeit wegen auf den Fall der Singulett-Paarung beschränkt. Die Resultate lassen sich jedoch problemlos auf den Triplett-Fall verallgemeinern. Kombiniert man fermionische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu einer zweikomponentigen Grösse, einem sog. Spinor , dann ist dieser Hamilton-Operator formal dem des Normalzustands äquivalent (Nambu-Formalismus),

Hier ist  jedoch eine Energiematrix

in deren Diagonale die typischen Energien für teilchenartige () und lochartige () Anregungen stehen. Das mittlere Paarpotential bildet die Nebendiagonalelemente und führt zu einer Mischung von Teilchen- und Lochbeiträgen zur Energie. Wegen der spontanen Paarformation  für  spricht man im Zusammenhang mit dem Phänomen der Supraleitung und der Suprafluidität auch von nebendiagonaler langreichweitiger Ordnung.

Der Hamilton-Operator bzw. die Energiematrix werden diagonalisiert durch die Bogoljubow-Walatin-Transformation

Da die neuen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wieder fermionische Anregungen beschreiben, gilt . Man erhält

Die Bedingung  legt die Amplituden  und  fest: ,  wobei

Die physikalische Bedeutung von  erkennt man aus der Form des transformierten Hamilton-Operators

Der erste Term in (11) ist die Gesamtenergie des BCS-Grundzustands, während der zweite Term den Beitrag der thermischen Anregungen, der sog. Bogoljubow-Quasiteilchen bei endlichen Temperaturen beschreibt.  ist somit das Energiespektrum der Bogoljubow-Quasiteilchen. Das Paarpotential  spielt damit die Rolle einer im allgemeinen anisotropen Energielücke im Spektrum der thermischen Anregungen. Die thermischen Eigenschaften der Bogoljubow-Quasiteilchen werden durch die Verteilungsfunktion

und ihre Ableitung nach ,  beschrieben. Im globalen thermodynamischen Gleichgewicht ergibt sich die diagonale Verteilungsfunktion  (vgl. (5)) nach der Bogoljubow-Walatin-Transformation zu

Es ist bemerkenswert, dass die Ableitung von , , bei allen Temperaturen  der Summenregel  genügt.

Die Gleichgewichts-Paaramplitude (vgl. (7)) lautet nach der Bogoljubow-Walatin-Transformation

Die Ursachen und Mechanismen für die Paaranziehung  sind unterschiedlich. Bei konventionellen Supraleitern vermitteln meistens die Quanten der Gitterschwingungen, die Phononen, eine Paaranziehung zwischen den Elektronen. In einigen Klassen unkonventioneller Supraleiter (Schwerfermion-, Hochtemperatur-Supraleiter sowie die superfluide Fermi-Flüssigkeit ³He) glaubt man heute, dass antiferromagnetische bzw. ferromagnetische sog. Spinfluktuationen oder Paramagnonen die Paaranziehung verursachen. Wir müssen an dieser Stelle auf eine Diskusion der mikroskopischen Ursachen für die Paarattraktion verzichten und nehmen lediglich an, dass die Paarwechselwirkung sehr klein () – wegen dieser Annahme spricht man im Zusammenhang mit Supraleitung und Suprafluidität auch vom Limes schwacher Kopplung – und in einer Energieschale der Dicke  um die Fermi-Energie anziehend ist. Die Lösung der Energielückengleichung (8) bei endlichen Temperaturen geschieht durch Einsetzen der Paaramplitude (14) in Gl. (8) und liefert bei der Sprungtemperatur und bei  die beiden im Limes schwacher Kopplung universellen sog. BCS-Mühlschlegel-Parameter, nämlich den für die Molekularfeldnäherung typischen Sprung in der spezifischen Wärme bei  und die Energielücke bei :

Hier ist  die Eulersche Konstante,  die Riemannsche -Funktion;  bedeutet eine Mittelung über die Fermi-Fläche und  ist die Wärmekapazität des normalen Fermi-Systems. In Tabelle 2 findet man eine Zusammenstellung von BCS-Mühlschlegel-Parametern für einige repräsentative paarkorrelierte Fermi-Systeme. Für Temperaturen  lässt sich die maximale Energielücke wie folgt interpolieren:

 

4 Paarkorrelierte Fermi-Systeme in äusseren Feldern

Schliesslich untersuchen wir, wie supraleitende und superfluide Fermi-Systeme auf die Gegenwart räumlich und zeitlich schwach veränderlicher äusserer Störungen wie ein Vektorpotential , ein Magnetfeld  oder eine lokale Temperaturänderung  bei beliebigen Temperaturen  reagieren. Eine solche Situation lässt sich besonders einfach durch die Annahme des sog. lokalen Gleichgewichts beschreiben. Das bedeutet, dass die Impulsverteilung  der Bogoljubow-Quasiteilchen auch in Gegenwart der Störungen noch eine Fermi-Funktion  ist,

in der aber das Argument von  nach  verschoben ist, wobei  und  das gyromagnetische Verhältnis der Fermionen ist. Die lokale lineare Antwort (linear response) des gesamten Quasiteilchensystems führt bei einer Temperaturänderung  auf die Entropieänderung , beim Anlegen eines Magnetfeldes  auf die Spinmagnetisierung  und bei Anwesenheit des Vektorpotentials  auf den elektronischen Quasiteilchenstrom . Die entsprechenden sog. Responsefunktionen sind die Wärmekapazität , die Paulische Spinsuszeptibilität  und der Stromresponse-Tensor . Im folgenden fassen wir die Resultate für diese Grössen bei beliebigen Temperaturen zusammen (bei den numerischen Rechnungen wurde die Interpolationsformel (15) für  verwendet):

 

1. Wärmekapazität der Bogoljubow-Quasiteilchen: