Techniklexikon

stochastischer Prozess

Thermodynamik und statistische Physik, Zufallsprozess, grundlegender Begriff der Statistischen Physik des Ungleichgewichts. Ein physikalischer Vorgang wird als stochastischer Prozess bezeichnet, wenn eine exakte, deterministische Vorhersage des zeitlichen Verlaufs nicht möglich ist, so dass für die interessierenden Grössen nur Wahrscheinlichkeitsaussagen gegeben werden können. Strenger formuliert ist ein stochastischer Prozess eine Zufallsvariable Y(t) mit einer Dichtefunktion W(y, t), die von der Zeit t abhängt, wobei dann eine tatsächlich durchlaufene Trajektorie y(t) als Realisierung dieses stochastischen Prozesses bezeichnet wird. Das bekannteste und historisch als erstes behandelte Beispiel eines solchen Prozesses ist die Brownsche Bewegung, für deren Beschreibung Einstein lediglich die mittlere quadratische räumliche Verschiebung der Partikel  betrachtete. Der Ort x(t) spielt hier die Rolle der Zufallsvariablen, einer zeitveränderlichen Grösse, über deren Entwicklung nur stochastische Aussagen gemacht werden können.

In der Regel hat die Zufallsvariable Y(t) zu verschiedenen Zeitpunkten  keinen unabhängigen Verlauf. Man führt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit

dafür ein, dass sich für Y₁ ein Wert im Intervall [y₁, y₁ + dy₁], für Y₂ ein Wert im Intervall [y₂, y₂ + dy₂] usw. ergibt. Im Falle der Abwesenheit jeder zeitlichen Korrelation der Zufallsvariablen, also des Fehlens jeder Dynamik im System, wird diese gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu:

Die wichtigste Untergruppe der stochastischen Prozesse bilden die Markow-Prozesse. Zur Formulierung der sie definierenden zeitlichen Korrelationsbedingung, der Markow-Bedingung, muss die bedingte Wahrscheinlichkeit oder auch Übergangswahrscheinlichkeit W(y₁, t₁| y₀, t₀)dy dafür eingeführt werden, dass der Wert von Y₁ zu Zeit t₁ zwischen y₁ und y₁ + dy liegt, wenn zu einer früheren Zeit t₀ exakt der Wert y₀ vorgelegen hat. Die Markow-Bedingung lautet unter Zuhilfenahme dieses Begriffes

d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Übergang vom Wert y_n-1 zur Zeit t_n-1 zum Wert y_n zur Zeit t_n hängt ausschliesslich von y_n-1, t_n-1, y_n und t_n ab, während die gesamte Vorgeschichte des Systems vor t_n-1 nicht von Relevanz ist. Der gesamte Vorgang ist nun durch die Wahrscheinlichkeiten W₁(y₁, t₁) und W₂(y₂, t₂|y₁, t₁) eindeutig bestimmt. Damit ist die Markow-Eigenschaft eine Idealisierung, die es erlaubt, mit nur wenigen Bestimmungsgrössen den gesamten stochastischen Prozess zu definieren. Die Markow-Bedingung besagt z.B. bezüglich der Brownschen Bewegung, also der durch thermische Stösse der Umgebung hervorgerufenen Zitterbewegung kolloidaler Partikel, dass Richtung und Stärke des nächsten Stosses nicht von der Richtung und Stärke des vorhergehenden Stosses abhängen, sondern nur von der momentanen Position des Partikels. Allgemein lassen sich stochastische Prozesse in der Natur als Markow-Prozesse beschreiben, wenn der Einfluss der Vorgeschichte in einem Zeitintervall fast völlig verschwindet, der klein gegenüber den interessierenden Zeitskalen ist. Von einem homogenen Prozess spricht man, wenn die Übergangswahrscheinlichkeiten nur von den Zeitdifferenzen abhängen. Ist zusätzlich noch W₁(y₁, t₁) zeitunabhängig, so bezeichnet man den Vorgang als im strengen Sinne stationär.

Eine Bedingung, die alle Markow-Prozesse erfüllen müssen, ist in der Chapman-Kolmogorov-Gleichung mit der zeitlichen Abfolge  formuliert:

Die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Wert y₁ zur Zeit t₁ zum Wert y₃ zur Zeit t₃ bestimmt sich also als Produkt der Übergangswahrscheinlichkeiten über einen Zwischenzustand y₂ zur Zeit t₂, wobei über alle möglichen Werte dieses Zwischenzustandes integriert werden muss.