Techniklexikon

Smalesches Hufeisen

Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, spezielle Abbildung in der nichtlinearen Dynamik. Besitzt ein zweidimensionales dynamisches System einen hyperbolischen Fixpunkt, dessen invariante Mannigfaltigkeiten sich in einem transversalen homoklinen Punkt schneiden, so lässt sich die Dynamik in der Nähe der invarianten Mannigfaltigkeiten qualitativ mit Hilfe eines Hufeisens veranschaulichen, das über ein Rechteck gelegt wird. Von dieser typischen Situation ausgehend wurde von S. Smale 1967 eine idealisierte Hufeisen-Abbildung (horseshoe map) des Einheitsquadrats  auf sich eingeführt, die horizontale Streifen  und  auf vertikale Streifen  und  abbildet und die Dynamik bei Existenz eines transversalen homoklinen Orbits widerspiegelt. Die invariante Menge  der Hufeisenabbildung hat in horizontaler und vertikaler Richtung die Struktur einer Cantor-Menge (Fraktale). Zur Beschreibung der Dynamik auf dieser invarianten Menge wird jedem Punkt  eine unendliche Symbolfolge  aus zwei Symbolen (hier 0 und 1) zugeordnet. Die resultierende symbolische Dynamik  besteht aus einer Verschiebung der Symbole innerhalb der Folge.