Techniklexikon

Masstheorie

beschäftigt sich mit der Zuordnung gewisser (reeller) Zahlen (Masse) m zu Teilmengen einer gegebenen Grundmenge , so dass gewisse einfache, vom geometrischen Inhaltsbegriff her bekannte, Beziehungen gelten. Sie untersucht die Eigenschaften solcher Masse und der darauf basierenden Integrationstheorien. Soll ein Mass allerdings bestimmte allgemeine Axiome erfüllen, kann es meist nicht auf beliebigen Systemen von Teilmengen einer Grundmenge definiert werden, vielmehr wird als Definitionsbereich immer eine s-Algebra  vorausgesetzt, welche neben A auch die Vereinigung jeder unendlichen Folge ihrer Teilmengen enthält. Eine Teilmenge B heisst dann messbar, wenn . Ein Wahrscheinlichkeitsmass ist ein positiv definites normiertes Mass: .

Eine Aussage gilt fast überall bzgl. m in , falls sie höchstens auf einer Nullmenge  nicht gilt. Für eine Nullmenge gilt m(N) = 0. Wird eine Menge  mit einer beliebigen Nullmenge vereinigt, so bleibt das Mass unverändert, . Hier wird immer  und deren beliebige Teilmengen als Nullmengen zu m definiert; deshalb ist eine Menge  mit  messbar mit . Die s-Algebra der Borel-Mengen enthält alle abzählbar unendlichen Intervallbereiche; darunter fallen insbesondere alle offenen Teilmengen des Phasenraums : jede offene Menge ist Borel-messbar. Folglich gehören auch alle abgeschlossenen Mengen zu dieser s-Algebra.(invariantes Mass)