Techniklexikon

Goldstone-Theorem

^[n]QuantenmechanikTeilchenphysik, Nambu-Goldstone-Theorem, im Zusammenhang mit dem Higgs-Mechanismus des Standardmodells der Elementarteilchen ein wichtiges Theorem, dem zufolge eine Theorie, deren Lagrange-Dichte eine globale Symmetrie besitzt, ihr Vakuum jedoch nicht, die Existenz eines oder mehrerer masseloser Bosonen - der sog. Goldstone-Bosonen - hervorruft. Man nennt diese Symmetrie spontan gebrochen (spontane Symmetriebrechung), und die Anzahl der Goldstone-Bosonen entspricht der Anzahl der spontan gebrochenen Erzeugenden der Symmetriegruppe.

Zur Verdeutlichung betrachten wir die allgemeine Lagrange-Dichte  wobei F sich als eine Darstellung der Symmetriegruppe G mit N Generatoren  transformiert. Ein nichttrivialer Vakuumzustand erfüllt  für . Dieser Zustand bricht einen Teil der Symmetrie, es bleibt aber die Symmetrie unter der Untergruppe H von G mit M Generatoren erhalten. Diese ändern  v _i nicht: . Eine infinitesimale Transformation der Felder, , angewendet auf die Bestimmungsgleichung des symmetriebrechenden Vakuumzustandes, ergibt

.

Da bei der Entwicklung des Feldes nach dem Vakuumzustand die obige zweite Variation des Potentials gleich dem -1 / 2-fachen der Massenmatrix ist, kann die Gleichung  entweder durch  in der ungebrochene Untergruppe erfüllt werden, oder, für die übrigen N - M Generatoren, durch Nulleigenwerte der Massenmatrix . Es gibt also N - M massenlose Teilchen, die Goldstone-Bosonen.

Beispiel: G = O(n) hat N = n(n - 1) / 2 Generatoren. Falls die Symmetrie auf H = O(n - 1) gebrochen wurde, gibt es in der Untergruppe M = (n - 1)(n - 2) / 2 Generatoren und N - M = n - 1 Goldstone-Bosonen.

Bei der spontanen Brechung einer lokalen Eichsymmetrie können die Goldstone-Bosonen eliminiert werden, dafür erhält das Eichfeld eine Masse (Higgs-Mechanismus).