Techniklexikon

Gauss-Quadratur

Mathematische Methoden und Computereinsatz, eines von mehreren Verfahren zur numerischen Berechnung eines eindimensionalen bestimmten Integrals  auf der Basis einzelner Funktionswerte des Integranden. Solche Verfahren versuchen, das Integral in der Form

mit bestimmten Stützstellen x_kn und Koeffizienten H_kn zu approximieren. Bei der Gauss-Quadratur führt man zunächst die Integration über das Intervall [a, b] auf eine Integration über das Standardintervall [-1, 1] zurück. Dann sind die Koeffizienten H_kn und die Stützstellen x_kn so zu bestimmen, dass die obige Formel für alle Polynome bis zu einem möglichst hohen Grad p exakt wird. Das führt auf p + 1 Bedingungsgleichungen

.

Als Stützstellen ergeben sich daraus die Nullstellen der Legendre-Polynome P_m(x) und als Koeffizienten (Tabelle)

.

Die Gauss-Quadratur eignet sich immer dann, wenn die Funktion analytisch oder hinreichend dicht tabelliert gegeben ist. In anderen Fällen muss auf einfachere, aber auch ungenauere Verfahren zurückgegriffen werden.

Gauss-Quadratur: Einige beispielhafte Werte der Stützstellen und Koeffizienten.

bottom:none;border-right:none; mso-border-top-alt:solid black .75pt;mso-border-left-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> n = 2	bottom:none;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-top-alt:solid black .75pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> x12 = -x22 = 0,57735, H12 = H22 = 1,
n = 3	x13 = -x33 = 0,77460, x23 = 0, H13 = H33 = 5 / 9, H23 = 8 / 9,
bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-left-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> n = 4	bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid black .75pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> x14 = -x44 = 0,86114, x24 = -x34 = 0,33998, H14 = H44 = 0,34785, H24 = H34 = 0,65215.