Techniklexikon

Gauss-Bonnet, Satz von

Mathematische Methoden und Computereinsatz, wichtiges Theorem der Differentialgeometrie (Riemannsche Geometrie), welches die Eulersche Charakteristik c einer zweidimensionalen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit M mit dem Integral über die Gausssche Krümmung G verknüpft: . Das Gauss-Bonnet-Theorem verbindet also Geometrie und Topologie einer Fläche. Die Euler-Charakteristik von M ergibt sich aus einer Polygonzerlegung von M mit V Vertizes, E Ecken und F Flächen zu c = V - E + F. Die Zerlegung der Einheitssphäre S² durch den Äquator und zwei dazu orthogonale Grosskreise liefert z.B. c = 6 - 12 + 8 = 2, das Gauss-Bonnet-Theorem sagt also in diesem Fall .

Aus dem Gauss-Bonnet-Theorem folgt, dass die Euler-Charakteristik unabhängig von der Wahl der Zerlegung und damit eine topologische Invariante ist. Tatsächlich ist c für eine Fläche vom Geschlecht g (also einer Fläche, die aus S² durch Anfügen von g ³ 0 Henkeln entsteht) durch c = 2 - 2g gegeben. In der lokalen Fassung, für ein Flächenstück R in M, lautet der Gauss-Bonnet-Satz:

,

wobei k_g die geodätische Krümmung der Randkurve ¶R ist und die Summe über alle Ecken von ¶R mit Innenwinkeln a_i läuft.