Techniklexikon

Eulersche Winkel

Klassische Mechanik, drei Winkel, welche die Lage zweier rechtwinkliger Koordinatensysteme mit gemeinsamem Ursprung zueinander beschreiben. Sie wurden von L. Euler zur Behandlung der Bewegung des Kreisels eingeführt. In diesem Fall geben die Eulerschen Winkel e_1,2,3 die relative Lage eines mit dem rotierenden Körper verbundenen Koordinatensystem gegenüber einem vorgegebenen (raumfesten) Koordinatensystems an. Es seien zwei Koordinatensysteme K und K¢ vorgegeben. Die xy-Ebene schneidet die x¢y¢-Ebene in der Knotenlinie k. Ihre positive Richtung wird so gewählt, dass sie der Richtung des Vektorprodukts e_z ´ e_z entspricht, wobei e_z und e_z die Einheitsvektoren in z bzw. z¢-Richtung darstellen. Dann ist e₁ ist der Winkel zwischen z und z¢, e₂ derjenige zwischen x und k und e₃ schliesslich bildet den Winkel zwischen k und x¢ (Abb.).

Die Eulerschen Winkel spielen in der Gruppentheorie, insbesondere bei Drehgruppen (unitäre Transformationen), eine bedeutende Rolle. Jede räumliche Drehung lässt sich als Ergebnis einer Drehung um die z-Achse mit dem Winkel e₁, einer anschliessenden Drehung um die neue x-Achse mit dem Winkel e₂ und einer darauf folgenden Drehung um die neue z-Achse mit dem Winkel e₃ erhalten, wobei e_1,2,3 die Eulerschen Winkel sind. Die Gesamtdrehung kann man als das Produkt dreier unitärer Matrizen darstellen, die durch zwei komplexe Parameter a und b, die sog. Cayley-Kleinschen Parameter, charakterisiert werden. Es gilt:

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Eulersche Winkel: Das raumfeste Koordinatensystem K ist schwarz dargestellt, das mit dem Körper mitrotierende Koordinatensystem K¢ rot. Die Knotenlinie k ist blau und die Eulerschen Winkel e_1,2,3 sind grün eingezeichnet.