Techniklexikon

Residuensatz

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Verallgemeinerung des Cauchyschen Integralsatzes auf Funktionen mit isolierten Singularitäten. Es sei  ein geschlossener Integrationsweg, der durch keine Singularität führt und eine bestimmte isolierte Singularität z einer bis auf isolierte Singularitäten holomorphen (analytischen) Funktion -mal umläuft. Dann gilt

wobei  das Residuum von f in z bedeutet. Der Residuensatz findet oft Anwendung bei der Integration rationaler Funktionen , die auf  keine Pole haben. Ist z.B. der Grad des Nenners von  um mindestens zwei grösser als der Grad des Zählers, so gilt .

ResiduumMathematische Methoden und Computereinsatz, 1) in der numerischen Mathematik der Wert (Skalar, Vektor,...) der Verletzung  einer Gleichungsbedingung , wenn statt der exakten Lösung  nur ein Näherungswert  in  eingesetzt wird.

2) in der Funktionentheorie die Zahl (Residuum von  in )

wobei  eine bis auf isolierte Singularitäten holomorphe (analytische) Funktion und  ein geschlossener Integrationsweg ist, der durch keine Singularität führt und ausser  auch keine Singularität von  umläuft. Das Residuum entspricht dem Koeffizienten  der Laurent-Reihe einer holomorphen Funktion.