Techniklexikon

periodische Funktionen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Funktionen , für die es eine Zahl  gibt, so dass gilt:  für alle ; die Zahl  heisst Periode. Die Winkelfunktionen periodische Funktionen"> und  sind periodisch mit . Ist  , eine analytische (bzw. holomorphe) Funktion, die ausser Polstellen keine Singularitäten im endlichen Bereich der komplexen Zahlenebene aufweist, und doppelt-periodisch, d.h.

( und periodische Funktionen">: zwei komplexe Zahlen mit periodische Funktionen">,  und : beliebige ganze Zahlen), so heisst periodische Funktionen"> elliptische Funktion. Mit periodische Funktionen"> und  sind auch alle Elemente der Menge periodische Funktionen"> Perioden.  ist eine diskrete Untergruppe von  periodische Funktionen"> und hat Rang 2; periodische Funktionen"> heisst daher Gitter, periodische Funktionen"> und  Erzeugende des Gitters . Die Perioden  und  spannen das Periodenparallelogramm auf, das sich in einem unendlichen Gitter in der komplexen Zahlenebene unendlich oft wiederfindet. Gibt man umgekehrt ein Gitter  vor, so lässt sich daraus die Weierstrasssche periodische Funktionen">-Funktion

konstruieren, wobei der Summenoperator  vorschreibt, über alle von 0 verschiedenen Gitterpunkte  zu summieren. Die -Funktion genügt der Differentialgleichung

mit

Jede elliptische Funktion ist eine rationale Funktion von periodische Funktionen"> und .