Techniklexikon

komplexe Zahlen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, eine Erweiterung des Körpers  der reellen Zahlen, die insbesondere das Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen ermöglicht. Die komplexen Zahlen  bestehen aus Realteil  und Imaginärteil , wobei  ist und lassen sich auf diese Weise in der komplexen Zahlenebene (Gausssche Zahlenebene) isomorph zum Vektorraum  abbilden. Der Körper  der komplexen Zahlen beinhaltet  als Unterkörper. Mit Hilfe der Eulerschen Formel

 lässt die Darstellung der komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene, die wiederum isomorph zum Vektorraum  ist, auch eine anschauliche geometrische Interpretation im Sinne polarer Koordinaten zu:  ist der Betrag der komplexen Zahl z bzw. des Vektors  und  ist das Argument bzw. die Phase. Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als

,

wobei  die zu z komplex-konjugierte Zahl genannt wird.  folgt für  aus

Aus z und  lassen sich vermöge der Definition von z und  Real- und Imaginärteil einfach darstellen als

.

Gleichung (*) ermöglicht in einfacher Weise die Potenzierung komplexer Zahlen nach der Moivre-Formel

. Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen genügt den Rechenregeln . Die Multiplikation folgt aus dem Distributivgesetz unter Beachtung von :

.

Die zu z inverse Zahl  ist , woraus die Regel zur Division folgt:

.