Techniklexikon

Parallelenaxiom

Mathematische Methoden und Computereinsatz, das fünfte Axiom in Euklids Elementen, welches besagt, dass es bei Gegebenheit einer Geraden G₁ und eines bezüglich dieser Geraden äusseren Punktes P genau eine Gerade G₂ gibt, die durch P verläuft und G₁ nicht schneidet. Während es bis in das frühe 19.Jh. hinein Versuche gab, zu beweisen, dass das Parallelenaxiom kein unabhängiges Axiom ist, sondern sich aus den ersten vier Euklidischen Axiomen ableiten lässt, setzte sich mit der Etablierung der nicht-Euklidischen Geometrie im Jahre 1823 durch den ungarischen Mathematiker J. Bolyai (1802-1860) und den russischen Mathematiker N.I. Lobatschewski (1793-1856) und der bereits früheren Entdeckung derselben durch Carl Friedrich Gauss die Erkenntnis durch, dass das Parallelenaxiom unabhängig ist und eben auch durch ein anderes ersetzt werden kann. Neben der Euklidischen oder heutzutage auch parabolisch genannten Geometrie existiert die nicht-Euklidische Geometrie, genauer die elliptische und hyperbolische Geometrie, wenn man im Parallelenaxiom die Bedingung »...genau eine Gerade G₂ gibt« durch »...keine Gerade gibt« bzw. »...mindestens zwei Geraden« ersetzt. Die nicht-Euklidische Geometrie spielt insbesondere in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle.