Techniklexikon

logistische Abbildung

Abbildung  der Form

die der diskreten Form der logistischen Gleichung zugrunde liegt. Je nach Werten für den Parameter r ändert sich das qualitative Verhalten der Orbits (der Orbit von x₀ ist die Folge der Werte, die man durch fortlaufende Iteration von (1) erhält) der logistischen Abbildung. Für die Parameterwerte  ist der Nullpunkt ein stabiler Fixpunkt, für  ist der zweite Fixpunkt  stabil. Bei  entsteht ein stabiler Orbit der Periode 2, d.h. für die zweite Iterierte  sind zwei stabile Fixpunkte entstanden, der ursprünglich stabile Fixpunkt wird hingegen instabil. Diese Periodenverdoppelung ist ein Beispiel für eine Bifurkation. Bei weiterer Vergrösserung von r wird der Orbit von  an seinen Fixpunkten instabil, es entsteht ein stabiler Orbit der Periode 2, d.h. der Periode 4 von . Diese periodenverdoppelnden Bifurkationen wiederholen sich nun, dabei werden die Parameterintervalle mit stabiler Periode 2ⁿ immer kürzer. Der Prozess konvergiert für  bei einem kritischen Wert  Jenseits von  ist das Verhalten sehr komplex. Es gibt unendlich viele Parameterintervalle, in denen stabile periodische Orbits existieren, es gibt aber auch Parameterwerte, für die keine stabile Periode existiert. Hier hängt das System empfindlich von den Anfangsbedingungen ab, es verhält sich chaotisch. (Chaos)