Techniklexikon

Kurvenintegral

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Linienintegral, skalarwertiges Integral einer vektorwertigen Funktion (Vektorfeld) entlang einer Kurve. Sei  eine vektorwertige Funktion und  eine Kurve mit Anfangs- und Endpunkten  und . Dann heisst das Integral

 Kurvenintegral. In der Physik gibt es viele Anwendungen des Kurvenintegrals. Handelt es sich bei F z.B. um ein Kraftfeld, dann stellt das Kurvenintegral die Arbeit dar, die geleistet wird, wenn man einen Massepunkt vom Punkt  zum Punkt  entlang der Kurve g verschiebt. Ein besonders wichtiger Fall liegt vor, wenn es sich um ein divergenzfreies Vektorfeld handelt, d.h. div F = 0. In diesem Fall ist der Wert des Kurvenintegrals unabhängig vom Weg bzw. der Kurve g, also nur von  und  abhängig. Für geschlossene Kurven, d.h. , ergibt sich daraus die Erhaltung der durch das Kurvebintegral gegebenen physikalischen Grösse. Es gelten die folgenden Äquivalenzen:

das Kurvenintegral ist wegunabhängig

F ist konservativ

F ist konservativ

F ist Gradientenfeld

Verwendet man statt  den Körper , so nennt man das Kurvenintegral auch Kontourintegral. Ein interessantes Ergebnis ergibt sich, wenn g die einfach geschlossene Randkurve einer offenen orientierbaren Fläche ist und F stetig-differenzierbar ist. In diesem Fall gilt der Stokessche Satz: