Techniklexikon

Fredholmsche Alternative

Mathematische Methoden und Computereinsatz, von E. I. Fredholm aufgestellter Satz über die lineare Fredholmsche Integralgleichung der zweiten Art. Er sagt aus, dass entweder die Gleichung

            (1)

und ihre Konjugierte,

,

eindeutige Lösungen f und y haben (für gegebene Funktionen g und f) oder die zugehörigen homogenen Gleichungen

nichttriviale Lösungen haben. In diesem Fall hat Gleichung (1) nur dann eine Lösung, wenn

,

wobei die y₁,..., y_n ein vollständiges System linear unabhängiger Lösungen der homogenen Gleichung bilden. Die wesentlichen Ergebnisse über Fredholmsche Integralgleichungen lassen sich auf lineare Operatoren T in einem Banach-Raum E übertragen, so auch die Fredholmsche Alternative, die in diesem Zusammenhang besagt, dass entweder die Gleichungen T(x) = y (x, y Î E) und T^*(g) = f (g, f Î E^*) eine eindeutige Lösung haben (T^* ist der zu T duale Operator, E^* der zu E duale Raum), oder die homogenen Gleichungen T(x) = 0 (x Î E) und T^*(g) = 0f (g Î E^*) haben die gleiche Anzahl linear unabhängiger Lösungen x₁,...x_n und g₁,...g_n. In diesem Fall haben die Gleichungen nur Lösungen, wenn g_k(y) = 0, k = 1,...,n bzw. f(x_k) = 0, k = 1,...,n.