Techniklexikon

Born-von-Kármán-Randbedingung

zyklische oder periodische Grenzbedingung, Grundlage bei der Behandlung der dynamischen Eigenschaften des Kristallgitters (Gitterschwingungen) ohne Berücksichtigung von Oberflächeneffekten. Im Modell eines linearen Gitters entspricht die Born-von-Kármán-Randbedingung der Vorstellung eines geschlossenen Rings von N Atomen, deren Verschiebungen u(l) aus ihren Gleichgewichtslagen der Beziehung u(l) = u(l + N) genügen. Für ein dreidimensionales Gitter gibt es aus topologischen Gründen kein zyklisches Modell. Um Oberflächenerscheinungen auszuklammern, geht man hier zur Vorstellung eines unendlich ausgedehnten Kristallgitters über, das man sich durch räumlich-periodische Fortsetzung von "Makrokristallen" (Parallelepipeden der Kantenlänge N_ia_i) aufgebaut denkt. Dabei sind a_i die Gittervektoren der Elementarzelle des Gitters. Einen beliebigen dieser Makrokristalle kann man als den zu untersuchenden Kristall ansehen, bei dem alle Grenzeffekte ignoriert werden. Die sich an den entsprechenden gegenüberliegenden Grenzpunkten dieses Kristalls befindlichen Gitterbausteine bewegen sich gleichartig. Für ebene Wellen exp(ik × r) als Lösungen ergibt sich für die möglichen Wellenzahlvektoren k die Bedingung:

exp(ik × N_i a_i) = 1, i = 1, 2, 3, die für die Einführung des Begriffes des reziproken Gitters mit den Basisvektoren b_i wesentlich ist. Diese Forderung führt wegen a_i × b_j = d_ij auf

k =  b₁ +  b₂ +  b₃ .

Die Bedingung 1/2N_i  < n_i  £ 1/2 N_i - 1, i = 1, 2, 3 (N_i gerade) beschränkt die Wellenzahlvektoren k auf die erste Brillouin-Zone.

Die Born-von-Kármán-Randbedingung wurde zuerst von Born und von Kármán (1912) beim Studium der Gitterschwingungen verwendet, sie dient jedoch auch als Periodizitätsbedingung bei der Behandlung von Elektronen und Phononen im Kristallgitter, wenn Oberflächenerscheinungen vernachlässigt werden sollen.