Techniklexikon

Zykloide

Mathematische Methoden und Computereinsatz, die Bahn eines Punktes P, die entsteht, wenn ein Kreis entlang einer Geraden abrollt. Bezeichnet  den Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt des Kreises mit Radius  und  die Abrollwinkelgeschwindigkeit, so lautet die Parameterdarstellung der Zykloide in Abhängigkeit von der Zeit  bzw. dem in radian gemessenen Wälzwinkel

Die Zykloide ist periodisch mit der Länge . Im Falle  liegt P auf dem Umfang des Kreises, und man spricht von der gewöhnlichen Zykloide; sie besitzt die Bogenlänge . Im Falle  dagegen erhält man Trochoiden, auch verkürzte (; liegt innerhalb des Kreises) oder verlängerte (; liegt ausserhalb des Kreises) Zykloide genannt. Die Zykloide gehört zur Familie der Rollkurven. Diese entstehen, wenn ein Kreis ohne zu gleiten an einer zweiten Kurve entlang rollt. Dabei werden die Koordinaten eines zum Kreis fest stehenden Punktes innerhalb bzw. ausserhalb der Kreisscheibe aufgetragen. Epizykloide, Nephroide, Epitrochoide, Hypozykloide, Astroide und Deltroide sind weitere Beispiele für Rollkurven. In der Physik spielt die Zykloide eine Rolle im Zusammenhang mit dem Zykloidenpendel (Pendel (48), Abb. 13 ebd.). Hierbei muss sich ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer Zyloide bewegen, deren Achse vertikal verläuft und deren konvexe Seite nach unten gerichtet ist. Im Unterschied zum klassischen Pendel, bei dem unter Annahme kleiner Ausschläge die Schwingungsdauer  von der Länge des Pendels abhängt, schwingt das Zykloidenpendel synchron, d.h. die Periode  hängt nur vom Umkreisradius  und nicht von der Amplitude der Ausschlags ab;  bezeichnet die Gravitationsbeschleunigung.

Zykloide: a) Verkürzte, b) verlängerte und c) gewöhnliche Zykloide.