Techniklexikon

reelle Zahlen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, , die Menge, die aus der Vervollständigung der rationalen Zahlen entsteht. Ausgangspunkt dieser Überlegungen ist die den antiken Griechen schon bekannte Tatsache, dass die Gleichung  keine Lösung in  besitzt; meist schreibt man die Lösung dieser Gleichung als . Eine mögliche Konstruktion von  geht auf J.W.R. Dedekind zurück und beruht auf Dedekindschen Schnitten , wobei im Falle von   und  die positiven rationalen Zahlen enthalten, deren Quadrat kleiner bzw. grösser als  ist, wobei die Elemente  und  beliebig gute untere und obere Schranken für  liefern. Äquivalent hierzu sind Intervallschachtelungsverfahren, die im Grenzwert ebenfalls  ergeben. Man kann sich die reellen Zahlen auch als Dezimalbrüche mit möglicherweise unendlich vielen Nachkommaziffern veranschaulichen. Jedem Dedekindschen Schnitt entspricht genau eine Trennungszahl; diese Eigenschaft heisst auch Ordnungsvollständigkeit. Eine andere Formulierung, die Vollständigkeit von  auszudrücken, ist die Aussage, dass in  jede Cauchy-Folge konvergiert, d.h. eine Folge  konvergiert gegen einen Grenzwert , wenn es für jedes  eine Zahl  gibt, so dass für alle Folgenglieder mit Indizes   gilt. Bei  handelt es sich um einen geordneten und vollständigen Körper. Hinsichtlich seiner algebraischen Struktur ist festzuhalten, dass  sich bezüglich der Addition (+) und Multiplikation () wie eine abelsche Gruppe verhält; hinzu kommt das Distributivgesetz (). Die Ordnungsstruktur ist durch < und > und insbesondere durch das Trichotomiegesetz (für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei Beziehungen ,  oder ), das Transitivitätsgesetz ( und  implizieren ) und das Monotoniegesetz ( impliziert  und für jedes  auch ) gegeben. Eine Körpererweiterung von , die auch die Lösungen der Gleichung  enthält, führt auf die komplexen Zahlen.