Techniklexikon

Newton-Cotes-Formeln

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Rechenvorschrift zur numerischen Integration einer Funktion  auf dem Intervall , die darauf beruht, die Funktion  im Intervall  durch ein auf  äquidistanten Stützstellen fussendes interpolierendes Polynom  zu ersetzen und das Integral  durch  zu nähern. Hierbei gilt mit , ,  und

wobei die Gewichte  nur von , nicht aber von  oder  und  abhängen und der Beziehung  genügen. Es ist bequem, die Regeln in der Form  zu schreiben, wobei die rationale Zahl  so gewählt ist, dass das -Tupel  nur aus natürlichen Zahlen besteht. Für spezielle Werte von  tragen die Newton-Cotes-Formeln die in der Tabelle angegebenen Namen.

Die Newton-Cotes-Formeln sind exakt für Polynome vom Grade , falls  ungerade, aber exakt bis zum Grad , falls  gerade ist. Wichtig ist, dass sämtliche Gewichte  positiv sind, da die Newton-Cotes-Formeln andernfalls instabil werden. Aus Genauigkeitsgründen verwendet man die Newton-Cotes-Formeln nicht für das gesamte Intervall , sondern unterteilt  in  Teilintervalle, wendet die Newton-Cotes-Formeln auf jedes Teilintervall an, addiert die Näherungswerte der Teilintegrale und erhält so eine zusammengesetzte Quadraturformel. Mit  ergibt sich so die (zusammengesetzte) Trapezregel

und für  die (zusammengesetzte) Simpson-Regel

mit .

Newton-Cotes-Formeln für spezielle Werte von n.

bottom-alt:solid black .6pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'>	bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-top-alt:solid black .6pt;mso-border-bottom-alt:solid black .6pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> Regel	bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-top-alt:solid black .6pt;mso-border-bottom-alt:solid black .6pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'>	bottom-alt: solid black .6pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'>
1	Trapez	1/2	1 1
2	Simpson	1/3	1 4 1
3	Simpsons 3/8	3/8	1 3 3 1
bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-left-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black .6pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> 4	bottom:solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid black .6pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> Bodes	bottom:solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid black .6pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> 2/45	bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid black .6pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> 7 32 12 32 7