Techniklexikon

Kurven und Flächen im Raum

spezielle Abbildungen von  und  in den Vektorraum , die insbesondere in der Differentialgeometrie untersucht werden. In der Mechanik wird manchmal die Bewegung von Teilchen entlang von Raumkurven oder auf Flächen untersucht. Raumkurven werden gewöhnlich durch

parametrisiert. Die Bogenlänge s zwischen zwei Raumpunkten r₁ und r₂ folgt aus

 

Bei gegebenem Fusspunkt r₁ stellt die Bogenlänge s eine besonders nützliche Parametrisierung von Raumkurven dar. Der Einheitsvektor

gibt die Richtung der Tangente im Punkt r(t); er zeigt in die positive Kurvenrichtung. Mit Hilfe der zweiten Ableitung

kann die Krümmung k und der Hauptnormalenvektor n berechnet werden; r = 1 / k heisst Krümmungsradius. t und n spannen zusammen die Schmiegungsebene einer Raumkurve in einem bestimmten Punkt auf. Aus den zueinander orthogonalen Vektoren t und n lässt sich mit der Binormalen  das begleitende Dreibein  bilden; die von t und b aufgespannte Ebene heisst auch rektifizierende Ebene. Schliesslich lässt sich noch die Windung bzw. Torsion w einer Raumkurve definieren:

 

Ist  in allen Kurvenpunkten, so liegt die Raumkurve in einer Ebene. Ist die Raumkurve nicht nach s parametrisiert, so gilt

 

und  

Damit lassen sich nun die Fresnelschen Formeln, die Beziehungen zwischen den Ableitungen der Vektoren t, n, b des begleitenden Dreibeins beschreiben, beweisen:

Flächen im Raum bieten in Verallgemeinerung von (*) die Möglichkeit der Parametrisierung . Daneben können Flächen im Raum explizit, d.h. , oder implizit durch  definiert werden. Als Beispiel sei mit  die Oberfläche einer Kugel mit Radius R genannt:

Die implizite Darstellung lautet  . Die Tangentenvektoren einer Fläche in einem Punkt der Fläche sind

und

Mit Hilfe der Tangentialvektoren lässt sich wieder der Normalenvektor

konstruieren, aber auch das Flächenelement  berechnen.