Teilgebiet der mathematischen Analysis, das sich
mit der Integration von Funktionen beschäftigt und zusammen mit der
Differentialrechnung die Infinitesimalrechnung bildet. Der Integralbegriff, der
noch relativ nahe mit der Wurzel der Integralrechnung, dem Problem der
Inhaltsbestimmung geometrischer Körper, verbunden ist, ist das Riemann-Integral
der R-integrierbaren Funktionen, die sich aus einfachen Treppenfunktionen
gewinnen lassen; eine vollständige Charakterisierung der R-integrierbaren
Funktionen als diejenigen Funktionen, deren Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge
ist, liefert das Lebesgue-Integral. Die Berechnung des Riemann-Integrals liefert
der Hauptsatz der Integralberechnung über die Differenz der Funktionswerte
einer Stammfunktion an den Grenzen des Integrals:
Ein wesentlicher Teil der Integralberechnung besteht demnach in der Suche nach Stammfunktionen. In diesem Zusammenhang hat sich der Begriff des unbestimmten Integrals eingebürgert, mit dessen Hilfe sich die meisten Integrationsregeln formulieren lassen. Für die mathematische und physikalische Praxis stehen umfangreiche Integralsammlungen zur Verfügung (siehe Vorsatzseiten).
Der Begriff des Riemann-Integrals lässt sich auch auf mehrere
Variablen ausdehnen. Sind die zu integrierenden Funktionen auf Kurven und
Flächen im definiert (Vektorfelder), erhält man die in
der Physik sehr wichtigen Begriffe der Kurven- und Oberflächenintegrale, die
mit den Riemann-Integralen über Integralsätze (Gaussscher Satz, Stokesscher
Satz) verknüpft sind.
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