Techniklexikon

Euler-Cauchy-Verfahren

Euler-Methode, numerisches Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, das im wesentlichen den Graphen der Lösungsfunktion durch einen Polygonzug approximiert. Die Vorgehensweise sei anhand der Differentialgleichung erster Ordnung y¢ = f(x, y) mit der Anfangsbedingung y(x₀) = y₀ skizziert (Existenz und Eindeutigkeit der Lösung werden vorausgesetzt): Ausgehend von der Anfangssteigung y¢(x₀) = y₀¢f(x₀, y₀) lassen sich durch Iteration die Funktionswerte y_i+1 = y_i+h · f(x_i, y_i) berechnen; man schreitet also von der Stelle x_i zur Nachbarstelle x_i+1 = x_i + h geradlinig mit der Steigung y_i¢ = f(x_i, y_i) voran und konstruiert somit einen aus kleinen Geradenstücken zusammengesetzten Polygonzug. Ist die Schrittweite h grösser als null, so heisst die Iteration Vorwärtsiteration, andern Rückwärtsitertation. Man kann allerdings erwarten, dass sich der Polygonzug und damit das Näherungspolynom im Laufe des Verfahrens immer weiter von dem gesuchten Graphen und der gesuchten Lösung y(x) entfernen. Durch Verkleinerung der Schrittweite kann die Annäherung verbessert werden, jedoch nur um den Preis eines beträchtlich erhöhten Rechenaufwandes. Man wählt daher in der Praxis andere Verfahren (z.B. Mehrschrittverfahren nach Adams-Bashforth oder Runge-Kutta-Verfahren), die auch für Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen höherer Ordnung anwendbar sind. Praktische Anwendung findet die Euler-Methode z.B. bei der Messung von Strömungen (insbes. Meeresströmungen).