Techniklexikon

Callan-Symanzik-Gleichung

Variante der (einfachen) Renormierungsgruppengleichung der Quantenfeldtheorie, die aus letzterer hervorgeht, wenn berücksichtigt wird, dass deren Parameter, insbesondere der wichtige Parameter b, der das Verhalten der Kopplungskonstante g als Funktion der Massenskala m beschreibt, neben der Kopplungskonstanten auch von der dimensionslosen Grösse m^m, also insgesamt von zwei unabhängigen Variablen abhängen. Diese Tatsache erschwert die Lösung der Renormierungsgruppengleichung und erfordert deren Modifikation eben in Form der Callan-Symanzik-Gleichung. (Eine andere Vorgehensweise zur Behebung dieser Komplikation besteht in der Verwendung der minimalen Subtraktion (MS) als Renormierungsschema, die die Massenabhängigkeit von b von vornherein vermeidet.)

Die Herleitung der Callan-Symanzik-Gleichung hat die Beobachtung zum Ausgangspunkt, dass die Ableitung einer beliebigen Vertex-Funktion  nach der unrenormierten Masse m₀ auf eine Vertex-Funktion mit quadriertem Propagator führt, was der Einfügung des Operators f² mit Impuls Null entspricht:

Geht man nun von unrenormierten zu renormierten Grössen über und wendet den Operator

in der obigen Gleichung an, erhält man die Callan-Symanzik-Gleichung

,

deren Parameter a, b, g sich nun - im Unterschied zur einfacheren Renormierungsgruppengleichung - als Ableitungen nach den unrenomierten Massen schreiben, z.B.

,

aber weiterhin nur von einer Variablen, der Kopplungskonstanten, abhängen, wodurch die Lösungsmethoden der Renormierungsgruppengleichung anwendbar bleiben. Zuvor muss allerdings der inhomogene Term der Callan-Symanzik-Gleichung beseitigt werden. Dafür sorgt die Skalierung der äusseren Impulse  genügend weit in den euklidischen Bereich hinein und das Weinberg-Theorem, das für diesen Fall besagt, dass  viel kleiner als G⁽ⁿ⁾ und somit vernachlässigbar ist. Dadurch wird die Callan-Symanzik-Gleichung homogen und kann analog zur Renormierungsgruppengleichung gelöst werden.